Схемы замещения двухобмоточного трансформатора

Приведение вторичной обмотки к первичной

Первичные и вторичные токи, напряжения и другие величины имеют одинаковый порядок, если у первичной и вторичной обмоток число витков одинаково. Рассмотрим поэтому вместо реального трансформатора эквивалентный ему так называемый приведенный трансформатор, первичные и вторичные обмотки которого имеют одинаковое число витков.

Представим себе, что реальная вторичная обмотка трансформатора с числом витков w₂ заменена воображаемой, или приведенной, обмоткой с числом витков w₂’ = w₁. При этом число витков вторичной обмотки изменится в

раз. Величина k называется коэффициентом приведения или коэффициентом трансформации. Более подробно о том, что называется коэффициентом трансформации и как определить коэффициент трансформации  изложено в статье "Принцип действия и виды трансформаторов".

В результате такой замены, или приведения, электродвижущая сила E₂’ и  напряжение U₂’ приведенной обмотки также изменяются в k раз по сравнению с величинами E₂ и U₂ реальной вторичной обмотки:

(2)

Чтобы мощности приведенной и реальной обмоток при всех режимах работы были равны, необходимо соблюдать равенство

где I₂’ – приведенный вторичный ток. Отсюда с учетом второго равенства (2) следует, что

(3)

Намагничивающие силы приведенной и реальной обмоток на основании выражений (1) и (3) равны:

(4)

Для того чтобы электромагнитные процессы в реальном и приведенном трансформаторах протекали одинаково, приведенная и реальная вторичные обмотки должны создавать одинаковые магнитные поля. Для этого, кроме соблюдения условия (4), необходимо, чтобы приведенная вторичная обмотка имела те же геометрические размеры и конфигурацию и была расположена в окне магнитопровода трансформатора так же, как и реальная вторичная обмотка (смотрите например, рисунок 1, в статье "Магнитопроводы трансформаторов" и рисунок 1, в статье "Элементы конструкции и способы охлаждения масляных трансформаторов"). Поэтому суммарное сечение всех витков приведенной обмотки должно быть таким же, как и у реальной обмотки, а сечение каждого витка приведенной обмотки должно уменьшиться в k раз. Но поскольку приведенная обмотка имеет в k раз больше витков, то в итоге активное сопротивление приведенной обмотки в k² раз больше, чем реальной:

Так как при одинаковых геометрических размерах и одинаковом расположении катушек их индуктивности и индуктивные сопротивления пропорциональны квадратам чисел витков, то между индуктивными сопротивлениями приведенной обмотки x₂’ и реальной x₂ существует такое же соотношение:

Очевидно, что потери в приведенной и реальной обмотках одинаковы:

Одинаковы также относительные падения напряжения во вторичных обмотках приведенного и реального трансформаторов:

Таким образом, все энергетические и электромагнитные соотношения в приведенном и реальном трансформаторах одинаковы, что и позволяет производить указанное приведение.

Схема замещения без учета магнитных потерь

В соответствии с изложенным сделаем подстановки в уравнениях напряжения трансформатора (уравнения (2), представленные в статье "Уравнения напряжений трансформатора"):

(7)

что в математическом отношении соответствует переходу от исходных реальных переменных U₂, I₂ к новым (приведенным) переменным U₂’, I₂’. Умножив при этом второе из уравнений (2), представленное в статье "Уравнения напряжений трансформатора", на k, получим

(8)

При переходе к электрической связи двух цепей в соответствующей схеме замещения должна появиться общая для обеих цепей ветвь, которая обтекается суммой токов обеих цепей I₁ + I₂’. Соответственно этому в уравнениях напряжений этих цепей должны появиться одинаковые члены с множителями (I₁ + I₂’). Из уравнений (8) видно, что для получения в них таких членов нужно прибавить к первому из этих уравнений и вычесть из него член jkx₁₂ × I₁ и прибавить ко второму и вычесть из него член jkx₁₂ × I₂’. При этом получим

(9)

Введем следующие наименования и обозначения:

1) приведенное активное сопротивление вторичной обмотки

совпадающее с выражением (5);

2) приведенное взаимное индуктивное сопротивление

3) индуктивное сопротивление рассеяния первичной обмотки

4) приведенное индуктивное сопротивление рассеяния вторичной обмотки

где

представляет собой неприведенное индуктивное сопротивление рассеяния вторичной обмотки.

Введя перечисленные приведенные величины в уравнения (9), получим уравнения напряжения приведенного трансформатора:

(15)

Рисунок 1. Схемы замещения двухобмоточного трансформатора без учета магнитных потерь

Уравнениям (15), как нетрудно видеть, соответствует схема замещения рисунка 1, а. Действительно, мысленно обойдя левый и правый контуры схемы рисунка 1, а и составив уравнения напряжения для этих контуров, вновь получим уравнения (15). Таким образом, схема рисунка 1, а представляет собой схему замещения трансформатора, соответствующую уравнению (2), представленному в статье "Уравнения напряжений трансформатора" и уравнению (15), представленному в данной статье.

Аналогичным образом можно также преобразовать уравнения напряжения в дифференциальной форме (уравнения (1), представленные в статье "Уравнения напряжений трансформатора"), произведя в них подстановки

При этом получается схема замещения рисунка 1, б, где

и

(18)

представляют собой индуктивности рассеяния первичной и вторичной обмоток, а

– приведенную взаимную индуктивность.

Схема замещения рисунка 1, б действительна при любых закономерностях изменения напряжения и токов во времени, в том числе и в случае переходных процессов.

Уравнения (15) и схемы замещения рисунка 1 можно трактовать таким образом, что сопротивления r₁ и x₁, r₂’ и x₂’ или индуктивности S₁ и S₂’ включены в цепи обмоток до и после трансформатора, а параметры обмоток трансформатора уменьшены на значения этих величин. В результате получается идеальный трансформатор, активные сопротивления которого равны нулю, а коэффициент электромагнитной связи c = 1. Действительно, у такого идеального трансформатора приведенные собственные и взаимные индуктивные сопротивления одинаковы и равны x₁₂’ = k × x₁₂ и поэтому в соответствии с равенством (12), представленном в статье "Индуктивности обмоток трансформатора и электромагнитное рассеяние" и равенством (7), представленном в статье "Уравнения напряжений трансформатора", c₂ = 1 и σ = 0.

Отметим, что, как следует из рассмотрения приведенных преобразований, соотношения (7) и все последующие, а также схемы замещения рисунка 1 справедливы и правильно отражают все процессы в трансформаторе при любом значении k. С математической точки зрения эти преобразования означают переход от переменных U₂ и I₂ к новым переменным U₂’ и I₂’ по формулам (7), что возможно при любом значении k. В связи с этим необходимо подчеркнуть, что индуктивные сопротивления и индуктивности рассеяния, согласно равенствам (11) – (14), (17), (18) и (19), определяются неоднозначно и зависят от коэффициента приведения k. Однако для силовых трансформаторов k рационально определять по формуле (1), как это и принято на практике. Выбор иного значения k целесообразен лишь в специальных случаях, например в измерительных трансформаторах тока.

Параметры схемы замещения

Рассмотрим параметры схем замещения рисунка 1 при k = w₁ / w₂ [смотрите равенство (1)].
Приведенная взаимная индуктивность на основании равенств (6) и (10), в представленных статье "Индуктивности обмоток трансформатора и электромагнитное рассеяние" и равенства (19), настоящей статьи

или на основании выражения (4), в представленного в статье "Индуктивности обмоток трансформатора и электромагнитное рассеяние"

(20)

Последний член выражения (20) весьма мал по сравнению с первым, и поэтому с достаточной точностью

Соответственно, согласно выражению (3), представленного в статье "Уравнения напряжений трансформатора" и выражениям (11),  (19), (21), настоящей статьи,

x₁₂’ = k × x₁₂ = ω × k × M = ω × M₁₂’ ≈ ω × L_с1

или

Следовательно, сопротивление x₁₂’ с большой точностью равно сопротивлению самоиндукции первичной обмотки от потока, замыкающегося по магнитопроводу.

Ветви 1 – 2 схем замещения рисунка 1 называются намагничивающими ветвями. Протекающий по этим ветвям намагничивающий ток

создает результирующую намагничивающую силу обмоток трансформатора

F_рез = w₁ × (I₁ + I₂’) = w₁ × I₁ + w₁ × I₂’ = F₁ + F₂ ,

которая в свою очередь создает результирующий поток стержня с амплитудой Ф_с. Напряжение на этих ветвях в соответствии с выражением (22), настоящей статьи и выражением (3), представленным в статье "Принцип действия и виды трансформаторов"

то есть равно по значению и обратно по знаку электродвижущей силе E₁, которая индуктируется в первичной обмотке результирующим потоком магнитопровода, или основным потоком трансформатора, и отстает от него на 90°.

Индуктивность рассеяния первичной обмотки, согласно выражениям (9) и (10), представленных в статье "Индуктивности обмоток трансформатора и электромагнитное рассеяние" и выражению (17), данной статьи,

S₁ = L₁₁ – k × M = L_c1 + L_в1 – k × M_c – k × M_в .

Но на основании уравнений (4) и (6), представленных в статье "Индуктивности обмоток трансформатора и электромагнитное рассеяние"

Поэтому

Аналогично, согласно выражениям (9) и (10), представленных в статье "Индуктивности обмоток трансформатора и электромагнитное рассеяние" и выражению (18), данной статьи

Но основании уравнений (5) и (6), представленных в статье "Индуктивности обмоток трансформатора и электромагнитное рассеяние"

и поэтому

(24)

Таким образом, индуктивности рассеяния S₁, S₂ и S₂’ и индуктивные сопротивления рассеяния при k = w₁ / w₂ определяются магнитными потоками, замыкающимися главным образом по воздуху.

Однако вторыми членами равенств (23) и (24) по сравнению с первыми пренебречь нельзя, и поэтому потоки, замыкающиеся по воздуху, можно назвать потоками рассеяния лишь условно.

Схема замещения с учетом магнитных потерь

Потери в стали магнитопровода p_мг при заданной частоте пропорциональны следующим величинам:

p_мг ∼ B_c² ∼ Ф_c² ∼ E₁² .

Таким образом, потери p_мг пропорциональны квадрату напряжения U₁₂ на зажимах 1 – 2 намагничивающей цепи схемы замещения рисунка 1, а. Если к этим зажимам параллельно x₁₂’ = x_c1 подключить активное сопротивление r_мг, как показано на рисунке 2, а, то потери в этом сопротивлении также будут пропорциональны U₁₂. Значение сопротивления r_мг можно подобрать так, чтобы потери в нем равнялись магнитным потерям:

p_мг = m₁ × U₁₂² / r_мг = m₁ × E₁² / r_мг .

Отсюда

Рисунок 2. Намагничивающая цепь схемы замещения с учетом магнитных потерь

Величину p_мг при заданной электродвижущей силе E₁ можно считать известной из расчетных (смотрите статью "Расчет магнитной цепи трансформатора") или опытных данных. Тогда можно считать известным также r_мг.

Намагничивающий ток

разделяется в двух ветвях намагничивающей цепи (рисунок 2, а) на активную I_мa и реактивную I_мr составляющие (смотрите статью "Расчет магнитной цепи трансформатора"), из, из которых первая определяет мощность магнитных потерь, а вторая создает поток магнитопровода.

Схема с двумя параллельными ветвями намагничивающей цепи хорошо согласуется с реальными физическими явлениями. Однако расчеты на основе схемы замещения вести удобнее, если объединить две параллельные ветви схемы 2, а в одну общую ветвь, как показано на рисунке 2, б. Тогда сопротивление этой ветви

(27)

Так как r_мг >> x₁₂’, то

(28)

При увеличении насыщения магнитопровода, то есть при увеличении Ф_с, E₁ или U₁, сопротивление x₁₂’ при f = const уменьшается. Однако при этом r_мг ≈ const, а значение r_м уменьшается.

Схема замещения трансформатора с учетом магнитных потерь согласно рисунку 2, б показана на рисунке 3, а. Если использовать обозначения

Рисунок 3. Схема замещения двухобмоточного трансформатора с учетом магнитных потерь

то схему замещения можно изобразить более компактно, как показано на рисунке 3, б. В режиме холостого хода I₂’ = 0 и I₁ = I_м – току холостого хода трансформатора.

В итоге получилась весьма простая Т-образная схема замещения трансформатора, представляющая собой пассивный четырехполюсник. Сопротивление намагничивающей цепи этой схемы Z_м отражает явления в ферромагнитном магнитопроводе. Оно значительно больше сопротивлений Z₁ и Z₂’, которые включают в себя активные сопротивления и индуктивные сопротивления рассеяния обмоток. Для силовых трансформаторов в относительных единицах

z_м* = 25 – 200 ;       z_1* ≈ z_2*’ = 0,025 – 0,10 .

Уравнения напряжений и схему замещения трансформатора можно представлять также в относительных единицах. Имея в виду, что

U_н = z_н × I_н ,

левые части уравнений вида (15) можно разделить на U_н, а правые части – на Z_н × I_н, в результате чего и будет совершен переход к относительным единицам. Абсолютные значения U, I, r, x и Z в схемах замещения также можно заменить относительными. При этом расчеты режимов работы трансформатора можно вести в относительных единицах.

Нетрудно видеть, что относительные значения сопротивлений, токов и напряжений вторичной цепи будут зависеть от того, какая величина коэффициента k была использована при приведении вторичной обмотки к первичной. Неопределенность в этом вопросе исчезает, если определять k всегда одинаковым образом. Например, в силовых трансформаторах всегда берут k = w₁ / w₂.

Упрощенная схема замещения

Рисунок 4. Упрощенная схема замещения трансформатора

Так как Z_м >> Z₁ ≈ Z₂’, то во многих случаях можно положить Z_м = ∞, что означает разрыв намагничивающей цепи схемы замещения рисунка 3. При Z_м = ∞ будет I_м = 0, то есть такое предположение эквивалентно пренебрежению намагничивающим током или током холостого хода, что ввиду малости I_м во многих случаях допустимо. При этом I₁ = –I₂’ = I .

При Z_м = ∞ и I_м = 0 схема замещения принимает вид, изображенный на рисунке 4. Параметры этой схемы

называются соответственно полным, активным и индуктивным сопротивлениями короткого замыкания. Такие названия обусловлены тем, что замыкание вторичных зажимов трансформатора накоротко соответствует замыканию накоротко вторичных (правых) зажимов схемы замещения рисунка 4 и при этом сопротивление трансформатора при коротком замыкании будет равным Z_к.

Схема замещения рисунка 4 чрезвычайно проста. Согласно этой схеме, трансформатор эквивалентен сопротивлению Z_к. Обычно в силовых трансформаторах z_к* = 0,05 – 0,15.

Источник: Вольдек А. И., "Электрические машины. Учебник для технических учебных заведений" – 3-е издание, переработанное – Ленинград: Энергия, 1978 – 832с.