Синусоидальные переменные величины

Практика остановила свой выбор на синусоидальных колебаниях переменных электрических величин. В дальнейших статьях, говоря о токе, электродвижущей силе (ЭДС), напряжении и магнитном потоке, мы будем считать их изменяющимися по закону синуса.

Рисунок 1. Вращение вектора вокруг оси

Пусть мы имеем вектор 0А (рисунок 1), выражающий в масштабе какую либо переменную синусоидальную величину, например ток. Будем вращать с постоянной скоростью вектор вокруг точки 0 против часовой стрелки. Конец вектора буде описывать окружность, а угол, на который поворачивается вектор, будет меняться с течением времени.

Угловая скорость или угловая частота ω (омега) вращения равна углу поворота вектора в единицу времени. Формула угловой частоты:

откуда

α = ω × t .

Часто вместо градуса пользуются другой единицей измерения угла – радианом. Радианом называется угол, дуга которого равна радиусу. Если длина окружности C = 2 × π × R, то она содержит радиан.

За один оборот радиус-вектор 0A будет иметь один период вращения продолжительностью T секунд.
Угловая частота или угловая скорость вращения в этом случае выразится:

Так как , то ω = 2 × π × f (рад / сек.). Таким образом, мы знаем, как найти угловую скорость в зависимости от частоты f.

Угол поворота радиус-вектора α от начального положения будет равен:

α = ω × t = 2 × π × t .

Угол α называется фазным углом или фазой.

Проекция вектора 0А на вертикальный диаметр равна произведению величины вектора на синус фазного угла, то есть

0В = 0А × sin α .

Таким образом, проекция вращающегося вектора 0А на вертикальный диаметр изменяется по закону синуса. Если длина вектора будет A_m, то мгновенное значение величины проекции a равно:

a = A_m × sin α = A_m × sin ωt ;

при α = 0° величина a = A_m × sin 0° = 0;
при α = 90° величина a = A_m × sin 90° = A_m.

В последнем случае мгновенное значение величины проекции равно ее амплитудному или максимальному значению.

Задаваясь величиной фазного угла и проектируя вектор A_m на вертикальный диаметр, будем получать мгновенное значение синусоидальной величины.

Проведем горизонтальную ось, на которой отложим фазные углы, проходимые вектором при его вращении (рисунок 2). Откладываем затем вертикальные отрезки, равные мгновенным значениям величины в местах окончания горизонтальных отрезков, соответствующих фазным углам. Соединяя концы вертикальных отрезков плавной кривой, получим знакомую нам кривую – синусоиду.

Рисунок 2. Получение синусоиды путем вращения векторов

Синусоидальная кривая получена в результате вращения вектора, который в масштабе выражал амплитудное (максимальное) значение переменной синусоидальной величины.

Способ изображения синусоидально меняющихся во времени величин с помощью векторов определенной длины и определенным образом расположенных между собой называется векторной диаграммой.

Та же зависимость может быть выражена графически в виде синусоидальных кривых.
Таким образом, переменную синусоидальную величину можно представить тремя способами: уравнением, векторной диаграммой и графиком.

Если радиус-вектор в начальный момент времени (t = 0) составляет некоторый угол ψ с горизонтальной осью, то в этом случае мгновенное значение переменной величины будет:

a = A_m × sin (ωt + ψ) .

Угол ψ (пси) называется начальным фазным углом или начальной фазой.

Векторная диаграмма и график для этого случая даны на рисунке 3.

Рисунок 3. Построение синусоиды при наличии начальной фазы

Мы не внесем ничего нового, если будем вращать два вектора, совпадающие по направлению. В определенный момент времени оба вектора будут повернуты на один и тот же фазный угол. Поэтому как сами векторы, так и переменные величины, которые они выражают, называют совпадающими по фазе. Векторная диаграмма и график двух величин, совпадающих по фазе, даны на рисунке 4.

Рисунок 4. Построение двух синусоид путем вращения двух совпадающих векторов

Уравнения для таких величин запишутся так:

a₁ = A_1m × sin ωt ;

a₂ = A_2m × sin ωt .

Если векторы сдвинуть один относительно другого на определенный угол φ и вращать вокруг точки 0, то мы получим две синусоидальные кривые, сдвинутые, как говорят, по фазе между собой на тот же угол φ. На рисунке 5 показано построение двух синусоид, сдвинутых по фазе на угол φ, равный 90°. В этом случае о кривой a₁ говорят, что она опережает кривую a₂ по фазе на 90°, или, наоборот, кривая a₂ отстает по фазе от кривой a₁ на 90°.

Рисунок 5. Построение двух синусоид, сдвинутых на угол 90°, путем вращения двух векторов, расположенных под углом 90°

При изучении явлений в цепях переменного тока приходится часто заниматься сложением и вычитанием синусоидальных величин (токов, напряжений и других).

Рассмотрим сложение двух синусоидальных величин, заданных уравнениями:

a₁ = A_1m × sin (ωt + ψ₁) ;

a₂ = A_2m × sin (ωt + ψ₂) .

Их сумма будет иметь величину:

a = a₁ + a₂ = A_1m × sin (ωt + ψ₁) + A_2m × sin (ωt + ψ₂) ,

Произведя необходимые математические преобразования, получим окончательно:

a = A_m × sin (ωt + ψ) .

Отсюда видно, что суммой двух синусоид одинакового периода является также синусоидой с амплитудой A_m и начальной фазой ψ.

Сложение синусоидальных величин проще представить на векторной диаграмме, показанной на рисунке 6 слева. Из диаграммы следует:

a₁ = A_1m × cos ψ₁ ;

a₂ = A_2m × cos ψ₂ ;

a = a₁ + a₂ ;

b₁ = A_1m × sin ψ₁ ;

b₂ = A_2m × sin ψ₂ ;

b = b₁ + b₂ .

Рисунок 6. Сложение двух синусоидальных величин

Величина результирующего вектора A_m, равна геометрической сумме векторов A_1m и A_2m, составляет:

На рисунке 6 справа дано графическое сложение двух синусоидальных величин. Любое мгновенное значение результирующей синусоиды равно сумме мгновенных значений слагаемых синусоид для каждого момента времени.

Рисунок 7. Вычитание векторов

Полученные выводы можно применить для сложения трех и больше синусоидальных величин.

Для того чтобы отличить действия с векторами от действий со скалярными величинами, мы в дальнейшем будем ставить черту над буквенным обозначением вектора. Например, сложение двух векторов A₁ и A₂ будем записывать так:

Рассмотрим теперь, как производится вычитание векторных величин. Пусть векторы A₁ и A₂ изображают какие-то синусоидальные величины и нам нужно из вектора A₁ вычесть вектор A₂ (рисунок 7). Вычитание векторов всегда можно заменить сложением уменьшаемого вектора с вектором, равным и противоположным вычитаемому вектору, то есть

Источник: Кузнецов М. И., "Основы электротехники" - 9-е издание, исправленное - Москва: Высшая школа, 1964 - 560 с.