В практических задачах встречаются цепи, имеющие всего две узловые точки. Между узловыми точками может быть включено произвольное количество ветвей. Расчет таких цепей значительно упрощается, если пользоваться методом узлового напряжения.
Рассмотрим сущность этого метода. В данной статье решение задач методом узлового напряжения рассмотрены на примерах.
На рисунке 1 изображена разветвленная электрическая цепь с двумя узловыми точками А и Б, между которыми включены четыре параллельные ветви. Три первые ветви имеют источники электродвижущих сил (ЭДС) (генераторы) с ЭДС E1, E2 и E3.
Рисунок 1. Метод узлового напряжения
Последовательно с генераторами в этих ветвях включены сопротивления r1, r2 и r3 (к ним могут быть отнесены и внутренние сопротивления самих генераторов). В последней ветви включено сопротивление r4. Положительные направления токов в каждой ветви выбраны от точки Б к точке А. Поскольку в первых трех ветвях направление тока совпадало с направлением ЭДС источников электрической энергии, то последние работают в режиме генераторов. Если напряжение между узловыми точками А и Б обозначить U, то ток в первой ветви:
то есть
I1 = (E1 – U) × g1 ;
аналогично для остальных ветвей:
I2 = (E2 – U) × g2 ;
I3 = (E3 – U) × g3 ;
I4 = (0 – U) × g4 = – U × g4 .
Применяя для узловой точки А первый закон Кирхгофа, будем иметь:
I1 + I2 + I3 + I4 = 0 .
Заменив токи их выражениями, последнее уравнение записываем так:
(E1 – U) × g1 + (E2 – U) × g2 + (E3 – U) × g3 – U × g4 = 0 ,
откуда
Мы получили формулу узлового напряжения.
В числителе формулы узлового напряжения представлена алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей на проводимости этих ветвей. В знаменателе формулы дана сумма проводимостей всех ветвей. Если ЭДС какой-либо ветви имеет направление, обратное тому, которое указано на рисунке 1, то она входит в формулу для узлового напряжения со знаком минус. В общем виде формулу для узлового напряжения можно записать так:
Применяя формулу для узлового напряжения, решим следующий пример.
Пример 1. Для цепи, представленной на рисунке 1, даны ЭДС генераторов E1 = 110 В, E2 = 115 В, E3 = 120 В; внутреннее сопротивление генераторов r01 = 0,2 Ом, r02 = 0,1 Ом, r03 = 0,3 Ом. Сопротивление ветвей r1 = 2,3 Ом, r2 = 4,9 Ом, r3 = 4,7 Ом, r4 = 5 Ом. Определить токи в ветвях.
Решение.
Расчет цепей методом узловых напряжений начнем с определения проводимости каждой ветви:
Находим узловое напряжение:
Определяем токи в ветвях:
I1 = (E1 – U) × g1 = (110 – 91) × 0,4 = 7,6 А ;
I2 = (E2 – U) × g2 = (115 – 91) × 0,2 = 4,8 А ;
I3 = (E3 – U) × g3 = (120 – 91) × 0,2 = 5,8 А ;
I4 = – U × g4 = – 91 × 0,2 = – 18,2 А .
Знак минус у тока I4 показывает, что действительное направление тока обратно тому, которое показано на рисунке 1.
Рассмотрим работу двух генераторов параллельного возбуждения с одинаковыми ЭДС (E1 = E2) и одинаковыми внутренними сопротивлениями (r01 = r02). Схема включения генераторов показана на рисунке 1. Пусть E1 = E2 = 110 В, r01 = r02 = 0,2 Ом. Сопротивление потребителя r3 = 1 Ом. Определить мощность, развиваемую генераторами.
Применяя формулу узлового напряжения, будем иметь:
Токи генераторов:
I2 = 50 А .
Мощности, создаваемые генераторами:
P1 = E1 × I1 = 110 × 50 = 5500 Вт;
P2 = 5500 Вт .
Приведенный пример показывает, что при одинаковых ЭДС и одинаковых внутренних сопротивлениях генераторов мощности, отдаваемые каждым генератором в сеть, также равны.
Пусть теперь ЭДС второго генератора E2 стала равной 121 В.
Тогда узловое напряжение
Токи генераторов:
Ток потребителя:
Мощности, создаваемые генераторами:
P1 = 110 × 25 = 2750 Вт;
P2 = 121 × 80 = 9680 Вт .
Следовательно, при параллельной работе генераторов постоянного тока с одинаковым внутренним сопротивлением более загруженным окажется тот генератор, ЭДС которого больше.
Рассмотрим, наконец, случай, когда ЭДС параллельно работающих генераторов одинаковы, но внутренние сопротивления различны.
Пример 2. Дано: ЭДС генераторов E1 = E2 = 110 В, внутренние сопротивления генераторов r01 = 0,2 Ом, r02 = 0,25 Ом, сопротивление внешней части цепи r = 1 Ом. Определить токи генераторов.
Вычисляем узловое напряжение:
Токи генераторов:
Ток нагрузки
При параллельной работе генераторов постоянного тока с одинаковыми ЭДС, но с различными внутренними сопротивлениями более загруженным окажется тот генератор, который имеет меньшее внутреннее сопротивление.
Источник: Кузнецов М.И., "Основы электротехники" - 9-е издание, исправленное - Москва: Высшая школа, 1964 - 560с.