Определение реактивной электродвижущей силы

Значение электродвижущей силы самоиндукции

При проектировании машин для принятия мер, обеспечивающих нормальные условия коммутации, возникает необходимость определения реактивной электродвижущей силы.

Произведем сначала расчет электродвижущей силы самоиндукции. Эта электродвижущая сила индуктируется потоками рассеяния пазов Ф_п, коронок зубцов Ф_к и лобовых частей Ф_л (рисунок 1).

Рисунок 1. Магнитные потоки рассеяния секции

Потоки Ф_п, Ф_к и Ф_л проходят через относительно большие воздушные промежутки, поэтому они мало зависят от насыщения зубцовой зоны и пропорциональны количеству витков секции и току протекающему в витках этой секции w_с × i. В свою очередь каждый из этих потоков создает потокосцепление, пропорциональное данному потоку и w_с. Таким образом, полное потокосцепление самоиндукции секции Ψ_L пропорционально w_с² × i :

Коэффициент пропорциональности Λ_Ll представляет собой магнитную проводимость для потоков рассеяния секции и численно равен потокосцеплению одновитковой секции (w_с = 1) таких же размеров, как и реальная, при токе i = 1 А. Основная доля Ψ_L обусловлена участками сторон секции, лежащими в пазах якоря. Поэтому проводимость Λ_Ll можно отнести к удвоенной длине якоря:

где Λ_L – проводимость секции на единицу длины якоря.

На основе сказанного индуктивность секции

L_с = Ψ_L / i

можно представить в виде соотношения

На практике стремятся к коммутации, близкой к прямолинейной.  Поэтому рассчитывают среднюю электродвижущую силу e_Lср, соответствующую прямолинейной коммутации.

Согласно выражению (2), представленному в статье "Электродвижущие силы в коммутируемой секции", выражению (4), представленному в статье "Процесс коммутации" и выражению (2), настоящей статьи

Подставим сюда

Тогда

(3)

Взаимная индукция, форма кривой и значение реактивной электродвижущей силы

Рисунок 2. Коммутация при uп = 4 и bщ = 2,5

Для выяснения особенностей коммутации с учетом влияния взаимной индуктивности рассмотрим случай равносекционной простой петлевой обмотки с u_п = 4 и b_щ = 2,5 × b_к (рисунок 2, а, б). Для простоты предположим, что шаг обмотки полный, а собственные и взаимные индуктивности секций, лежащих в общих пазах, равны. Коммутацию будем считать прямолинейной.

Изменение токов рассматриваемых секций в процессе коммутации происходит во времени со сдвигом

(4)

как показано на рисунке 3, а. Прямоугольники на рисунке 3, б изображают электродвижущую силу самоиндукции e_L в этих секциях, причем высота прямоугольника соответствует значению электродвижущей силы, а ширина, равная периоду коммутации, фиксирует время начала и конца действия этой электродвижущей силы. Эти прямоугольники, естественно, также сдвинуты относительно друг друга на время t_к.

Рисунок 3. Определение реактивной электродвижущей силы при uп = 4 и bщ = 2,5

При равенстве собственных и взаимных индуктивностей e_L = e_M. Тогда каждый из прямоугольников на рисунке 3, б представляет собой также электродвижущую силу взаимной индукции e_M, которая индуктируется каждой из рассматриваемых секций во время ее коммутации в остальных одновременно коммутируемых секциях.

Чтобы определить реактивную электродвижущую силу e_r1 в секции 1, необходимо сложить прямоугольник 1 и те участки прямоугольников 2, 3, 4, которые лежат под прямоугольником 1, так как секции 2, 3, 4 оказывают влияние на секцию 1, естественно, только во время ее коммутации. Таким образом, получим кривую e_r1 на рисунке 3, в которая представляет собой изменение во времени реактивной электродвижущей силы первой секции. Аналогично можно построить кривые электродвижущих сил e_r2, e_r3, e_r4 остальных секций, которые изображены на рисунке 3, г, д, е. Как видно из рисунка 3, с учетом взаимной индукции реактивная электродвижущая сила e_r каждой секции даже при прямолинейной коммутации изменяется во времени, причем кривые электродвижущих сил разных секций имеют разную форму.

Ступенчатая огибающая кривых e_r1, e_r2, e_r3, e_r4 построена на рисунке 3, ж. Она представляет собой результирующую электродвижущую силу секций одного паза. Для полной компенсации e_r во всех секциях необходимо добиться, чтобы кривая электродвижущей силы e_к, а следовательно, и кривая индукции B_к коммутирующего поля имели форму кривой на рисунке 3, ж. Однако в точности добиться этого невозможно, и на практике стремятся получить такую форму кривых B_к и e_к, которая по возможности ближе совпадала бы с формой кривой e_r, как показано на рисунке 3, ж штриховой линией.

При построении кривых e_r можно учесть также взаимную индукцию от секций, коммутируемых соседними щетками, влияние укорочения шага, неравенство e_L и e_M и разницу этих величин, обусловленную расположением секций в пазах в два слоя. Формы кривых e_r имеют при этом еще более сложный вид.

Хотя увеличение ширины щеток b_щ приводит к повышению влияния взаимной индукции вследствие возрастания числа одновременно коммутируемых секций, значение e_r несколько уменьшается, так как при этом увеличивается период коммутации.

Построение кривых e_r трудоемко, и поэтому при проектировании машин к нему прибегают лишь в наиболее ответственных случаях. Обычно же ограничиваются вычислением среднего для всех секций паза значения e_r, соответствующего замене ступенчатой кривой на рисунке 3, ж прямоугольником, площадь которого равна площади фигуры, ограниченной этой кривой и осью абсцисс. Формулу для e_r при этом можно получить, если в выражении (3) заменить

на

(5)

где Λ_M – средняя суммарная проводимость для потоков взаимной индукции, а Λ = Λ_L + Λ_M.

Таким образом, получим формулу Пихельмайера, которой пользуются в расчетной практике:

Магнитные проводимости Λ и ξ зависят в основном от геометрических размеров пазов и лобовых частей секций, а также от других факторов (магнитные свойства бандажной проволоки и так далее). Формулы для вычисления Λ и ξ приводятся в руководствах по проектированию машин постоянного тока. В малых и средних машинах, а также в крупных тихоходных машинах с малой длиной якоря ξ = (5 – 8) × 10^-6 Г/м, а в крупных тихоходных машинах с большой длиной якоря и в крупных тихоходных машинах ξ = (3,5 – 5,0) × 10^-6 Г/м.

Из равенства (6) видно, что e_r тем больше, чем больше скорость вращения, линейная нагрузка и длина машины и чем больше витков в секции.

Если можно было бы добиться идеальной компенсации e_r с помощью коммутирующей электродвижущей силы e_к, то теоретически можно было бы иметь хорошую коммутацию при весьма больших значениях e_r. Однако, как было выяснено в связи с рассмотрением рисунка 3, ж, добиться совпадения форм кривых e_к и e_r практически невозможно, и нескомпенсированные участки кривой e_r тем больше, чем больше сама e_r. Поэтому значение e_r решающим образом влияет на качество коммутации. При наличии коммутирующего поля необходимо, чтобы e_r ≤ 7 – 10 В, а при отсутствии этого поля e_r + e_aq ≤ 2 – 3 В.

Ширина зоны коммутации

Время T_п коммутации u_п секции одного паза для обмотки с полным шагом, согласно рисунку 3, ж, равно

T_п = T_к + (u_п – 1) × t_к .

При укороченном или удлиненном шаге обмотки нижние секции будут коммутироваться в зависимости от направления вращения якоря раньше или позже верхних. Если шаг укорочен или удлинен на ε секционных сторон (смотрите статью "Электродвижущая сила секций"), то время коммутации секционных сторон одного паза увеличивается на ε × t_к. Поэтому в общем случае

T_п = T_к + (u_п – 1 + ε) × t_к .

Подставив сюда значения T_к и t_к из выражения (4), представленного в статье "Процесс коммутации" и выражения (4), настоящей статьи, получим

(7)

Зоной коммутации называется дуга окружности якоря, в пределах которой перемещаются секционные стороны паза во время коммутации.

Ширину этой зоны b_з.к получим, если умножим T_п на окружную скорость якоря

v_a = π × D_a × n .

Таким образом,

(8)

Если подставить в выражение (8)

и учесть равенство (1), представленное в статье "Процесс коммутации", то формула (8) приобретает несколько иной вид:

(9)

В выражения (8) и (9) нужно подставлять всегда абсолютное значение ε.

Значение b_з.к должно быть не больше 50 – 65 % расстояния между наконечниками соседних главных полюсов. В противном случае коммутируемые секции попадают в зону сильного поля главных полюсов и условия коммутации резко ухудшаются. В связи с этим из выражений (8) и (9) можно заключить, что большое укорочение шага обмотки нежелательно.

Источник: Вольдек А. И., "Электрические машины. Учебник для технических учебных заведений" – 3-е издание, переработанное – Ленинград: Энергия, 1978 – 832с.